MATEMATIKA Sorozatok Az oldal tartalma túl rövid és általános ahhoz, hogy érdemi magyarázó értéket lehessen hozzáadni — nem derül ki belőle, hogy a sorozatok témájának melyik pontjáról, milyen fogalomról vagy feladatról van szó. Számsorozatok - Alapfogalmak Számtani közép: a 1,a 2,…,an Mértani közép: a 1,a 2,…,an nem negatív számok mértani közepe Továbbá: Pozitív számok esetén A≤G, ahol az egyenlőség akkor és csakkor teljesül, ha a sorozat elemei egyenlők. Ez az oldal egy fontos összehasonlítást vezet be: ha van néhány pozitív számod, a számtani közepük mindig legalább akkora, mint a mértani közepük. Ez az úgynevezett számtani-mértani közép egyenlőtlenség, és a sorozatokkal foglalkozó fejezet egyik alappillére. A lényeg hétköznapian megfogalmazva: ha összekeversz néhány pozitív számot, és kiszámolod az átlagukat a szokásos módon (összeadod és elosztod), az eredmény sosem lesz kisebb, mint ha a szorzatukból vonnál gyököt. A kettő csak akkor egyenlő, ha minden szám pontosan ugyanakkora. Erre az összefüggésre a következő oldalakon valószínűleg bizonyítást látsz, vagy olyan feladatokat, ahol ezt az egyenlőtlenséget kell alkalmazni — például minimum- vagy maximumértékek meghatározásához trükkös úton. Érdemes tehát most jól rögzíteni, hogy melyik a nagyobb és melyik a kisebb a kettő közül. A leggyakoribb félreértés az szokott lenni, hogy valaki összekeveri a két közép kiszámításának módját. A számtani közép az összeadásra épül, a mértani a szorzásra — ha ez a különbség nem szilárd, a következő lépéseknél könnyen elvész a fonál. Sorozatok Fontosabb számsorozatok: Számtani a szomszédos tagok különbsége állandó Mértani a szomszédos tagok hányadosa állandó Fibonacci minden tag az előző kettő összege Ez az oldal három alapvető sorozattípust mutat be egymás mellett — lényegében egy "szótároldal", amely megadja azokat az alapfogalmakat, amelyekre az egész sorozatokról szóló anyag épül. A három sorozattípus közül a legfontosabb, hogy mindegyiknek más a "szabálya" — az a mechanizmus, ahogy egyik tagból a következő kiszámítható. A számtani sorozatnál mindig ugyanannyit adsz hozzá (vagy veszel el), például 2, 5, 8, 11 — itt mindig 3-at adsz hozzá. A mértaninál mindig ugyanannyival szorzod az előző tagot, például 2, 6, 18, 54 — itt mindig 3-mal szorzol. A Fibonacci-sorozatnál viszont nem elég az előző tag, hanem az előző kettőt kell összeadni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 — mindig a két megelőző szám összege adja a következőt. A különbség, a hányados és az összeg szavak itt technikai jelentéssel bírnak: "különbség" azt jelenti, hogy kivonod az előző tagot a következőből; "hányados" azt jelenti, hogy elosztod a következő tagot az előzővel — és ha ez az eredmény mindig ugyanaz, akkor megvan a sorozat típusa. Arra figyelj, hogy a "hányados állandó" nem azt jelenti, hogy a tagok egyformák — hanem azt, hogy az egymást követő tagok aránya egyforma. Ez elsőre könnyen összemosódhat a "különbség állandó" szabállyal. Sorozatok Kamatos kamat számítás kamatláb évek száma betett összeg n év alatt felnövekedett összeg Az oldal azt mutatja meg, hogyan lehet a kamatos kamat kiszámítását sorozatként értelmezni — vagyis összeköti a sorozatok elvont matematikai fogalmát egy nagyon konkrét, pénzügyi élethelyzettel. Ez azért fontos lépés, mert sorozatoknál mindig az a kérdés: mi a szabály, amely szerint az egyik tagból a következő lesz? A kamatos kamatnál ez a szabály pontosan megadható. A lényeg az, hogy ha beteszel egy összeget a bankba, az minden évben ugyanolyan arányban nő — nem ugyanannyival, hanem ugyanolyan szorzóval. Ez azt jelenti, hogy minden év végén az előző év végén lévő teljes összeg szorzódik ugyanazzal a számmal. Éppen ezért nem egyszerű összeadás történik évről évre, hanem szorzás — és ez az, ami a kamatos kamatot mértani sorozattá teszi. Ahhoz, hogy a következő lépéseket kövesd, azt kell most pontosan értened: a mértani sorozatban minden tagot úgy kapunk, hogy az előzőt megszorozzuk egy állandó számmal, és a kamatos kamatnál ez a szorzó az, ami a kamatlábból következik. Vigyázz arra, hogy a kamatos kamat nem azt jelenti, hogy minden évben ugyanannyi kamatot kapsz — hanem azt, hogy minden évben az előző évnél kicsit több kamatot kapsz, mert már a korábban megszerzett kamatra is jár kamat. Ez az a pont, ahol sokan összekeverik az egyszerű és a kamatos kamat működését. 1. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 0,5 Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 2 pont Az előző ismeretek alapján most egy konkrét feladaton próbálod ki, hogyan kell egy mértani sorozat adott tagját kiszámítani — ez egy tipikus vizsga- vagy házifeladat-típus, amit tudni kell önállóan megoldani. A lényeg az, hogy a mértani sorozatnál minden tagot úgy kapunk, hogy az első tagot megszorozzuk a hányados valamely hatványával. Azt, hogy hányadik hatványával, az határozza meg, hányadik tagot keressük — de mindig eggyel kevesebbszer szorzunk, mint a tag sorszáma. Az ötödik tagnál tehát négyszer szorzod a hányadost önmagával, majd az eredményt megszorzod az első taggal. A nehézség tipikusan ott van, hogy sokan ötször szoroznak négy helyett — érdemes erre külön figyelni. Ha az első tag maga is egy szorzás eredménye lenne, az is egy szorzás, de mivel itt az első tag adott, azzal csak egyszer, a végén szorzol. 2. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. Mekkora az első 150 tag összege? 5 pont Az előző feladatban láttad, hogyan kell egy számtani sorozattal dolgozni — most egy hasonló feladat jön, de itt nem az első tagot és a differenciát adják meg közvetlenül, hanem két egymást követő tagot. Ebből először ki kell számolnod, ami hiányzik, és csak utána tudod alkalmazni az összegképletet. A kulcslépés az, hogy a különbség — amit differenciának neveznek — megkapható úgy, hogy a harmadik tagból kivonod a másodikat. Ha megvan a differencia, abból visszaszámolható az első tag is: a második tagból kivonod egyszer a differenciát. Miután megvan az első tag és a differencia, pontosan ugyanúgy kell eljárnod, mint ahogy az összegképletet korábban alkalmaztad: szükséged lesz az első tagra, a százötvenedik tagra, és a tagok számára. Arra figyelj, hogy a százötvenedik tagot külön ki kell számolnod az általános tagképlettel, mielőtt az összegbe helyettesítenél — ez egy közbenső lépés, amit könnyű kihagyni. 3. Iktasson be a 6 és az 1623 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtani sorozat szomszédos tagjai legyenek! 5 pont A feladat lényege az, hogy nem elég megtalálni a két számot — az a kérdés, hogyan illeszkednek be egy sorozatba úgy, hogy a szomszédok között mindig ugyanakkora ugrás legyen. Tehát összesen négy szám lesz egymás után: 6, valami, valami, 1623 — és a kettő között mindig ugyanannyival kell nőnie az értéknek. Ahhoz, hogy megoldd, először azt kell kiderítened, mekkora ez az állandó lépésköz. Mivel 6-tól indulsz, és három egyenlő lépéssel éred el 1623-at, a teljes különbséget — vagyis 1623 mínusz 6-ot — három egyenlő részre kell osztanod. Ez adja meg, mennyivel ugrik a sorozat minden egyes lépésnél. Ha megvan a lépésköz, a két beiktatott számot úgy kapod meg, hogy az előző taghoz mindig hozzáadod ezt az értéket: az első beiktatott szám 6 plusz egy lépésköz, a második pedig 6 plusz két lépésköz. Arra figyelj, hogy itt nem két különálló számot kell kitalálni egymástól függetlenül — ha megvan a lépésköz, minden többi automatikusan következik belőle. Ha valahol elakadsz, szinte biztosan a lépésköz kiszámításánál csúszott el valami. 4. Egy számtani sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! 2 pont b) Tagja-e a fenti sorozatnak a 2005? 3 pont c) A sorozat első n tagját összeadva az összeg 1550. Határozza meg az n értékét! 7 pont Ez egy számtani sorozatos feladatsor, ahol az előző oldalak után most már konkrét számokkal kell dolgoznod — tehát nem elvont szabályokat tanulsz, hanem éles feladatokon méred meg, mennyire érted a sorozatok logikáját. Az alaphelyzet: a sorozat 5-tel kezdődik, és minden lépésben 3-mal nő, mert 8 mínusz 5 egyenlő 3. Ez a 3 az úgynevezett differencia — ez az a szám, amit mindig hozzáadunk. Ebből a két adatból az egész sorozat rekonstruálható. A három részfeladat fokozatosan nehezedik. Az első egy egyszerű behelyettesítés: a 80. tag kiszámítása a sorozat általános képletével. A második ennél csavarosabb — nem azt kérdezi, mekkora egy adott tag, hanem megfordítja a kérdést: egy adott számról kell eldönteni, belefér-e a sorozatba egyáltalán. Ehhez azt kell ellenőrizni, hogy ha visszafelé számolod, egész számot kapsz-e eredményül. A harmadik részfeladat az összegképletet hívja elő: nem egy tag értékét, hanem az első n tag összegét ismered, és az n-t kell megtalálnod — ez egy egyenlet megoldását jelenti. Ahol a legtöbb kezdő megcsúszik: a b) részben sokan kiszámítják a képletet és kapnak valami tizedes törtet, de nem vonják le a következtetést, hogy ez mit jelent. Ha az eredmény nem egész szám, a válasz egyértelmű: nem tagja a sorozatnak. A c) részben pedig az összegképletbe behelyettesítve egy másodfokú egyenlet keletkezik — ne ijedj meg tőle, de számíts rá. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon. Nincs kinyerhető szöveg ezen az oldalon.